大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。阿貝爾定理求收斂半徑例題，阿貝爾定理很多人還不知道，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1. 定理設(shè)<math>f(z)= sum_{n geq 0} a_n z^n</math>為一冪級數(shù)，其收斂半徑為R。若對收斂圓（模長為 R 的復(fù)數(shù)的集合）上的某個復(fù)數(shù)<math>z_0</math>，級數(shù)<math>sum_{ngeq 0} a_n z_0^n</math>收斂，則有: <math>lim_{t o 1^-} f(t z_0) = sum_{n geq 0} a_n z_0^n</math>。

若<math>sum_{n geq 0} a_n R^n</math>收斂，則結(jié)果顯然成立，無須引用這定理。

2. 例子和應(yīng)用阿貝爾定理的一個有用應(yīng)用是計算已知收斂級數(shù)。方法是通過在級數(shù)每項后加上<math>x^n</math>項，將問題轉(zhuǎn)換為冪級數(shù)求和，最后再計算 x 趨于 1 時冪級數(shù)的極限。由阿貝爾定理可知，這個極限就是原級數(shù)的和。

1.為計算收斂級數(shù)<math> sum_{n geq 1} frac{(-1)^{n+1}}{n} </math>，設(shè)<math>f(x)= sum_{n geq 1} frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = log (1+x)</math>。于是有<math>sum_{n geq 1} frac{(-1)^{n+1}}{n} = lim_{x o 1^-} f(x) = log 2 </math>

2.為計算收斂級數(shù)<math>sum_{n geq 0} frac{(-1)^n}{2n+1}</math>，設(shè)<math>g(x)= sum_{n geq 0} frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = arctan (x)</math>。因此有<math>lim_{x o 1^-} g(x) = arctan (1) = frac{pi}{4} = sum_{n geq 0} frac{(-1)^n}{2n+1}</math>

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。