大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。因式分解題目及答案簡單，因式分解題目及答案很多人還不知道，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

十字相乘法

十字相乘法的方法簡單來講就是：十字左邊相乘等于二次項系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項，交叉相乘再相加等于一次項系數(shù)。其實就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解。

如：

a2x2+ax-42

首先，我們看看第一個數(shù)，是a2，代表是兩個a相乘得到的，則推斷出(a ×+？）×(a ×+？），

然后我們再看第二項， +ax這種式子是經(jīng)過合并同類項以后得到的結(jié)果，所以推斷出是兩項式×兩項式。

再看最后一項是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2。

首先，21和2無論正負，通過任意加減后都不可能是1，只可能是-19或者19，所以排除后者。

然后，再確定是-7×6還是7×-6。

(a×-7）×(a×+6）=a2x2-ax-42(計算過程省略）

得到結(jié)果與原來結(jié)果不相符，原式+ax 變成了-ax。

再算：

(a×+7）×(a×+(-6））=a2x2+ax-42

正確，所以a2x2+ax-42就被分解成為(ax+7）×(ax-6），這就是通俗的十字相乘法分解因式。

公式法

公式法，即運用公式分解因式。

公式一般有

1、平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）

2、完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2

3因式分解編輯

十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，余式定理法，求根公因式分解沒有普遍適用的方法，初中數(shù)學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法。而在競賽上，又有拆項和添減項法式法，換元法，長除法，短除法，除法等。

注意四原則：

1．分解要徹底（是否有公因式，是否可用公式）

2．最后結(jié)果只有小括號

3．最后結(jié)果中多項式首項系數(shù)為正（例如：-3x2+x=x(-3x+1)）不一定首項一定為正，如-2x-3xy-4xz=

-x(2+3y+4z)

歸納方法：

1．提公因式法。

2．運用公式法。

3．拼湊法。

提取公因式法

各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式.公因式可以是單項式，也可以是多項式。

如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式。

具體方法：當各項系數(shù)都是整數(shù)時，公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù)字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的。當各項的系數(shù)有分數(shù)時，公因式系數(shù)為各分數(shù)的最大公約數(shù)。如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。

口訣：找準公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負要變號，變形看奇偶。

例如：

注意：把

變成

不叫提公因式

公式法

根據(jù)因式分解與整式乘法的關系，我們可以利用乘法公式把某些多項式因式分解，這種因式分解的方法叫做公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫運用公式法。

平方差公式：

反過來為

完全平方公式：

反過來為

反過來為

注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(shù)(或式)的積的2倍。

兩根式：

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3

公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)2

1．分解因式技巧掌握：

①分解因式是多項式的恒等變形，要求等式左邊必須是多項式。

②分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示。

③每個因式必須是整式，且每個因式的次數(shù)都必須低于原來多項式的次數(shù)。

④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。

注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從系數(shù)和因式兩個方面考慮。

2．提公因式法基本步驟：

（1）找出公因式

（2）提公因式并確定另一個因式

①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母

②第二步提公因式并確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式

③提完公因式后，另一因式的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同

解方程法

通過解方程來進行因式分解，如：

X2+2X+1=0 ,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×（X+1）

4分解方法編輯

分組分解法

分組分解是分解因式的一種簡潔的方法，下面是這個方法的詳細講解。

能分組分解的多項式有四項或大于四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。

同樣，這道題也可以這樣做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

幾道例題：

1． 5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)

說明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕松解出。

2． x2-x-y2-y

解法：=(x2-y2)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解決。

三一分法，例：a^2-b^2-2bc-c^2

=a^2-(b+c)^2

=(a-b-c)(a+b+c)

十字相乘法

十字相乘法在解題時是一個很好用的方法，也很簡單。

這種方法有兩種情況。

①x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是：二次項的系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的積；一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項的系數(shù)是1的二次三項式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

例1：x2-2x-8

=(x-4)(x+2)

②kx2+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)．

例2：分解7x2-19x-6

圖示如下：a=7 b=1 c=2 d=-3

因為　-3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，

所以，原式=(7x+2)(x-3)．

十字相乘法口訣：分二次項，分常數(shù)項，交叉相乘求和得一次項。

例3：6X2+7X+2

第1項二次項（6X2）拆分為：2×3

第3項常數(shù)項（2）拆分為：1×2

2（X）　3（X）

1　2

對角相乘：1×3+2×2得第2項一次項（7X）

縱向相乘，橫向相加。

十字相乘法判定定理：若有式子ax2+bx+c，若b2-4ac為完全平方數(shù)，則此式可以被十字相乘法分解。

與十字相乘法對應的還有雙十字相乘法，也可以學一學。

拆添項法

這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)．

配方法

對于某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

例如：x2+3x-40

=x2+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)2-(6.5)2

=(x+8)(x-5)．

因式定理

對于多項式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．

例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x2+5x+6的一個因式。(事實上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)

注意：1、對于系數(shù)全部是整數(shù)的多項式，若X=q/p（p,q為互質(zhì)整數(shù)時）該多項式值為零，則q為常數(shù)項約數(shù)，p最高次項系數(shù)約數(shù)

2．對于多項式f(a)=0,b為最高次項系數(shù)，c為常數(shù)項，則有a為c/b約數(shù)

換元法

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數(shù)，然后進行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來，這種方法叫做換元法。注意：換元后勿忘還元。

例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12時，可以令y=x2+x,則

原式=(y+1)(y+2)-12

=y2+3y+2-12=y2+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x2+x+5)(x2+x-2)

=(x2+x+5)(x+2)(x-1)．

綜合除法

令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……，xn，則該多項式可分解為f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．

例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6時，令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0，

則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1．

所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點x1,x2,x3,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．

與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。

主元法

例如在分解x3+2x2-5x-6時，可以令y=x3+2x2-5x-6.

作出其圖像，與x軸交點為-3，-1，2

則x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

先選定一個字母為主元，然后把各項按這個字母次數(shù)從高到低排列，再進行因式分解。

特殊值法

將2或10代入x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當?shù)慕M合，并將組合后的每一個因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

例如在分解x3+9x2+23x+15時，令x=2，則

x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，

將105分解成3個質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7 ．

注意到多項式中最高項的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值，

則x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，驗證后的確如此。

待定系數(shù)法

首先判斷出分解因式的形式，然后設出相應整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項式因式分解。

例如在分解x4-x3-5x2-6x-4時，由分析可知：這個多項式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。

于是設x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)

相關公式

=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd

由此可得

a+c=-1，

ac+b+d=-5，

ad+bc=-6，

bd=-4．

解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

則x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．

也可以參看右圖。

雙十字相乘法

雙十字相乘法屬于因式分解的一類，類似于十字相乘法。

雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始的式子如下：

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f

x、y為未知數(shù)，其余都是常數(shù)

用一道例題來說明如何使用。

例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．

分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。

解：圖如下，把所有的數(shù)字交叉相連即可

x 　2y 　2

x 　3y　 6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．

雙十字相乘法其步驟為：

①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)

②先依一個字母（如y）的一次系數(shù)分數(shù)常數(shù)項。如十字相乘圖②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)

③再按另一個字母（如x）的一次系數(shù)進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。

④縱向相乘，橫向相加。

二次多項式

（根與系數(shù)關系二次多項式因式分解）

例：對于二次多項式 aX2+bX+c(a≠0)

.

當△=b2-4ac≥0時，設aX2+bX+c=0的解為X1,X2

=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)

=a(X-X1)(X-X2).

5分解步驟編輯

①如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；

②如果各項沒有公因式，那么可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解

④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要相對合適?！?/p>

6例題編輯

1．分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2．

解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（補項）

=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）

=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2

=[(1+y)+x2(1-y)+2x][(1+y)+x2(1-y)-2x]

=(x2-x2y+2x+y+1)(x^2-x2y-2x+y+1)

=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]

=[(x+1)2-y(x+1)(x-1)][(x-1)2-y(x+1)(x-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．

2．求證：對于任何整數(shù)x,y，下式的值都不會為33：

x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5．

解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)

=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)

=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)

=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．

當y=0時，原式=x5不等于33；當y不等于0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立。

3．．△ABC的三邊a、b、c有如下關系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。

分析：此題實質(zhì)上是對關系式的等號左邊的多項式進行因式分解。

證明：∵-c2+a2+2ab-2bc=0，

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．

∴(a-c)(a+2b+c)=0．

∵a、b、c是△ABC的三條邊，

∴a+2b+c>0．

∴a－c=0，

即a=c，△ABC為等腰三角形。

4．把-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1分解因式。

解：-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1

=-6xn×yn-1(2xn×y-3x2y2+1)．

7四個注意編輯

因式分解中的四個注意，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括號里面分到“底”?，F(xiàn)舉下例，可供參考。

例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式。

解：-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4）=-[(a-b)2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)

這里的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內(nèi)第一項系數(shù)是正的。防止學生出現(xiàn)諸如－9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的錯誤。

這里的“公”指“公因式”。如果多項式的各項含有公因式，那么先提取這個公因式，再進一步分解因式；這里的“1”，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式后，括號內(nèi)切勿漏掉1。

分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“干凈”，不留“尾巴”，并使每一個括號內(nèi)的多項式都不能再分解。防止學生出現(xiàn)諸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9)的錯誤，因為4x2-9還可分解為(2x+3)(2x-3)。

考試時應注意：

在沒有說明化到實數(shù)時，一般只化到有理數(shù)就夠了，有說明實數(shù)的話，一般就要化到實數(shù)！

由此看來，因式分解中的四個注意貫穿于因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”等是一脈相承的。

8應用編輯

1． 應用于多項式除法。

：a(b?1)(ab+2b+a)

說明：(ab+b)2?(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b?a?b) = (ab+2b+a)(ab?a) = a(b?1)(ab+2b+a)．

2． 應用于高次方程的求根。

3． 應用于分式的通分與約分

順帶一提，梅森合數(shù)分解已經(jīng)取得一些微不足道的進展：

1，p=4r+3，如果8r+7也是素數(shù)，則：(8r+7)|(2P-1)。即（2p+1）|（2P-1）

例如：

23|(211-1);；11=4×2+3

47|(223-1);；23=4×5+3

167|(283-1);,,,.83=4×20+3

2,p=2n×32+1,，則（6p+1）|(2P-1)，

例如：223|(237-1)；37=2×2×3×3+1

439|(273-1)；73=2×2×2×3×3+1

3463|(2577-1)；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1

3，p=2n×3m×5s-1,則（8p+1）|（2P-1）

例如；233|(229-1)；29=2×3×5-1

1433|(2179-1)；179=2×2×3×3×5-1

1913|（2239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1

9分解公式編輯

平方差公式

(a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方公式

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

立方和（差）

兩數(shù)差乘以它們的平方和與它們的積的和等于兩數(shù)的立方差。

即a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

證明如下：（ a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3

所以a3-b3=(a-b)3-[-3(a2)b+3ab2]=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)

=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)

同理 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

十字相乘公式

十字相乘法能把某些二次三項式分解因式。要務必注意各項系數(shù)的符號。

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

不知道需要什么難度的，所以還是答方法

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。