數(shù)學研究是一個富有想象力和直覺的過程。對于那些仍在從高中代數(shù)中恢復過來的人來說，這可能是一個驚喜。量子尺度下的世界是什么樣的?如果我們像星系一樣大，我們的宇宙會是什么形狀?生活在6維甚至60維中會是什么感覺?這些都是數(shù)學家和物理學家每天都在努力解決的問題。

為了找到答案，像我這樣的數(shù)學家試圖通過做出猜想(關(guān)于這些模式如何工作的想法)來找到與復雜數(shù)學對象相關(guān)的模式，如果我們能證明它們是正確的，則將其提升為定理。這個過程依賴于我們的直覺和我們的知識。

在過去的幾年里，我一直在與人工智能(AI)公司DeepMind的專家合作，以了解他們的程序是否有助于數(shù)學研究的創(chuàng)造性或直覺方面。在Nature上發(fā)表的一篇新論文中，我們展示了他們可以：人工智能的最新技術(shù)對于在稱為“結(jié)理論”和“表示理論”的兩個領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)新猜想和新定理至關(guān)重要。

機器直覺

數(shù)學家的直覺從何而來?人們可以在人類努力的任何領(lǐng)域提出同樣的問題。國際象棋大師如何知道對手有麻煩?沖浪者如何知道在哪里等待波浪?

簡短的回答是我們不知道。人的大腦中似乎發(fā)生了一些神奇的事情。而且，這種“神奇的東西”需要數(shù)千小時才能開發(fā)出來，而且不容易教。

在過去的十年里，計算機顯示出人類直覺等事物的最初跡象。最引人注目的例子發(fā)生在2016年，DeepMind的AlphaGo程序與世界上最好的棋手之一李世石之間的圍棋比賽。

AlphaGo以4-1獲勝，專家觀察到AlphaGo的一些動作顯示了人類水平的直覺。一個特定的移動(“移動37”)現(xiàn)在作為游戲中的一個新發(fā)現(xiàn)而聞名。

計算機是如何學習的?

這些突破的背后是一種稱為深度學習的技術(shù)。在計算機上建立一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——本質(zhì)上是一個大腦的原始數(shù)學模型，具有許多相互連接的神經(jīng)元。

起初，網(wǎng)絡(luò)的輸出是無用的。但隨著時間的推移(從數(shù)小時到數(shù)周或數(shù)月)，網(wǎng)絡(luò)得到訓練，主要是通過調(diào)整神經(jīng)元的放電率。

這些想法在1970年代進行了嘗試，但結(jié)果并不令人信服。然而，在2010年左右，當研究人員大幅增加模型中的神經(jīng)元數(shù)量(從1970年代的數(shù)百個增加到今天的數(shù)十億個)時，發(fā)生了一場革命。

傳統(tǒng)的計算機程序在處理許多人類認為容易的任務時遇到困難，例如自然語言處理(閱讀和解釋文本)以及語音和圖像識別。

隨著2010年代的深度學習革命，計算機開始在這些任務上表現(xiàn)良好。人工智能基本上為機器帶來了視覺和語音。

訓練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要大量數(shù)據(jù)。此外，經(jīng)過訓練的深度學習模型通常起到“黑匣子”的作用。我們知道他們經(jīng)常給出正確的答案，但我們通常不知道(也無法確定)為什么。

幸運的相遇

我對人工智能的參與始于2018年，當時我被選為皇家學會會員。在倫敦的入職典禮上，我遇到了DeepMind的首席執(zhí)行官DemisHassabis。

在喝咖啡休息時，我們討論了深度學習以及在數(shù)學中的可能應用。機器學習能否像圍棋那樣在數(shù)學領(lǐng)域帶來新發(fā)現(xiàn)?

這次偶然的對話促成了我與DeepMind團隊的合作。

像我這樣的數(shù)學家經(jīng)常使用計算機來檢查或執(zhí)行長時間的計算。然而，計算機通常無法幫助我培養(yǎng)直覺或提出可能的攻擊路線。所以我們問自己：深度學習能幫助數(shù)學家建立直覺嗎?

與DeepMind的團隊一起，我們訓練了模型來預測特定數(shù)量，稱為Kazhdan-Lusztig多項式，我在我的數(shù)學生涯中的大部分時間都在研究它。

在我的領(lǐng)域，我們研究表征，你可以把它想象成化學中的分子。與分子由原子組成的方式大致相同，表示的組成由Kazhdan-Lusztig多項式控制。

令人驚訝的是，計算機能夠以難以置信的準確度預測這些Kazhdan-Lusztig多項式。模型似乎在做某事，但我們不知道是什么。

然而，通過“深入了解”模型，我們能夠找到一條線索，讓我們得出一個新的猜想：Kazhdan-Lusztig多項式可以從更簡單的對象(數(shù)學圖)中提取出來。

這個猜想為解決一個困擾數(shù)學家40多年的問題提出了一條前進的道路。值得注意的是，對我來說，該模型提供了直覺!

在與DeepMind的并行工作中，牛津大學的數(shù)學家AndrasJuhasz和MarcLackenby使用類似的技術(shù)在結(jié)理論的數(shù)學領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn)了一個新定理。該定理給出了數(shù)學世界不同領(lǐng)域產(chǎn)生的結(jié)的特征(或“不變量”)之間的關(guān)系。

我們的論文提醒我們，智力不是一個單一的變量，就像智商測試的結(jié)果一樣。智力最好被認為具有多個維度。

我希望人工智能可以提供另一個維度，加深我們對數(shù)學世界以及我們生活的世界的理解。