拉格朗日中值定理的證明

拉格朗日中值定理是微積分中的一個重要定理，它揭示了函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)與局部性質(zhì)之間的聯(lián)系。該定理表明：如果函數(shù) $ f(x) $ 在閉區(qū)間 $[a, b]$ 上連續(xù)，在開區(qū)間 $(a, b)$ 內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點 $\xi \in (a, b)$，使得

$$

f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

$$

定理證明

為了證明拉格朗日中值定理，我們引入輔助函數(shù)的方法。

1. 構(gòu)造輔助函數(shù)

設(shè)輔助函數(shù)為：

$$

F(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a) \right].

$$

這個函數(shù)的構(gòu)造目的是使 $ F(a) = F(b) = 0 $，從而便于應(yīng)用羅爾定理。

2. 驗證條件

- 連續(xù)性：由于 $ f(x) $ 在 $[a, b]$ 上連續(xù)，且 $ F(x) $ 是由 $ f(x) $ 和線性函數(shù)組合而成，因此 $ F(x) $ 在 $[a, b]$ 上也連續(xù)。

- 可導(dǎo)性：同樣地，$ f(x) $ 在 $(a, b)$ 內(nèi)可導(dǎo)，而 $ F(x) $ 的構(gòu)造沒有破壞可導(dǎo)性，因此 $ F(x) $ 在 $(a, b)$ 內(nèi)可導(dǎo)。

- 邊界條件：計算 $ F(a) $ 和 $ F(b) $：

$$

F(a) = f(a) - \left[ f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(a - a) \right] = 0,

$$

$$

F(b) = f(b) - \left[ f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(b - a) \right] = 0.

$$

3. 應(yīng)用羅爾定理

根據(jù)羅爾定理，若函數(shù) $ F(x) $ 滿足上述條件，則至少存在一點 $\xi \in (a, b)$，使得 $ F'(\xi) = 0 $。

4. 計算導(dǎo)數(shù)

對 $ F(x) $ 求導(dǎo)：

$$

F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

$$

令 $ F'(\xi) = 0 $，得到：

$$

f'(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0.

$$

整理后即為：

$$

f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.

$$

結(jié)論

通過構(gòu)造輔助函數(shù)并利用羅爾定理，我們成功證明了拉格朗日中值定理。這一結(jié)果不僅展示了函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，還為后續(xù)研究提供了理論基礎(chǔ)。拉格朗日中值定理是分析學(xué)中不可或缺的重要工具。