大家好，我是小夏，我來為大家解答以上問題。均值不等式一正二定三相等什么意思，均值不等式很多人還不知道，現(xiàn)在讓我們一起來看看吧！

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個常數(shù)，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1。應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因?qū)Ч?，從“已知”看“需知”，逐步推出“結(jié)論”。其邏輯關(guān)系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論B。

3.分析法分析法是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。用分析法證明AB的邏輯關(guān)系為：BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。

4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設(shè)A≤B，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法。

5.換元法換元法是對一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個或多個變量進(jìn)行代換，以便簡化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都有同一個參數(shù)表示。此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題根據(jù)具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設(shè)x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對于含有的不等式，由于|x|≤1，可設(shè)x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設(shè)x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過換元達(dá)到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進(jìn)行換元。

6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而借助一個或多個中間變量通過適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小達(dá)到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據(jù)主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進(jìn))一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應(yīng)用均值不等式進(jìn)行放縮。

1、比較法（作差法）

在比較兩個實數(shù) 和 的大小時，可借助 的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負(fù)號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應(yīng)用已知定理、公式等。

例1、已知： ， ，求證： 。

證明： ，故得 。

2、分析法（逆推法）

從要證明的結(jié)論出發(fā)，一步一步地推導(dǎo)，最后達(dá)到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導(dǎo)過程都必須可逆。

例2、求證： 。

證明：要證 ，即證 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。

3、綜合法

證題時，從已知條件入手，經(jīng)過逐步的邏輯推導(dǎo)，運(yùn)用已知的定義、定理、公式等，最終達(dá)到要證結(jié)論，這是一種常用的方法。

例3、已知： ， 同號，求證： 。

證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即 。

4、作商法（作比法）

在證題時，一般在 ， 均為正數(shù)時，借助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大于1或小于1）。

例4、設(shè) ，求證： 。

證明：因為 ，所以 ， 。而 ，故 。

5、反證法

先假設(shè)要證明的結(jié)論不對，由此經(jīng)過合理的邏輯推導(dǎo)得出矛盾，從而否定假設(shè)，導(dǎo)出結(jié)論的正確性，達(dá)到證題的目的。

例5、已知 ， 是大于1的整數(shù)，求證： 。

證明：假設(shè) ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。

6、迭合法（降元法）

把所要證明的結(jié)論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證。

例6、已知： ， ，求證： 。

證明：因為 ， ，

所以 ， 。

由柯西不等式

，所以原不等式獲證。

7、放縮法（增減法、加強(qiáng)不等式法）

在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項（或負(fù)項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項換以較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福瑥亩_(dá)到證明的目的。值得注意的是“放”、“縮”得當(dāng)，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法。

例7、求證： 。

證明：令 ，則

，

所以 。

8、數(shù)學(xué)歸納法

對于含有 的不等式，當(dāng) 取第一個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設(shè)下，還能證明不等式在 時也成立，那么肯定這個不等式對 取第一個值以后的自然數(shù)都能成立。

例8、已知： ， ， ，求證： 。

證明：（1）當(dāng) 時， ，不等式成立；

（2）若 時， 成立，則

= ，

即 成立。

根據(jù)（1）、（2）， 對于大于1的自然數(shù) 都成立。

9、換元法

在證題過程中，以變量代換的方法，選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，使問題的證明達(dá)到簡化。

例9、已知： ，求證： 。

證明：設(shè) ， ，則 ，

（因為 ， ），

所以 。

本文到此講解完畢了，希望對大家有幫助。